PERSAMAAN KUADRAT

1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

      Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel (peubah) x dengan a,b,c bilangan rill dan adalah sebagai berikut :

ax² + bx + c = 0

        a disebut koefisien x²
        b koefisien x
        c disebut konstanta

Contoh :
Tentukanlah nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat dibawah ini: 
a.  x² + 2x - 3 = 0 ; mempunyai nilai a = 1, b = 2 dan c = -3
b.  2x² - x - 6 = 0 ; mempunyai nilai a = 2, b = -1 dan c = -6 
c.  3x² + 4 = 2x² - 2x + 7 ; diubah terlebih dahulu ke bentuk umum persamaan kuadrat 
     3x² + 4 = 2x² - 2x 
     3x² - 2x² + 2x + 4 - 7 = 0
     x² + 2x - 3 = 0
    Jadi  3x² + 4 = 2x² - 2x + 7 mempunyai nilai a = 1, b = 2 dan c = -3  

Catatan : Variabel pada persamaan kuadrat memiliki pangkat paling tinggi dua


2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
      Menyelesaikan persamaan kuadrat adalah menentukan nilai-nilai variabel yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Selanjutnya nilai-nilai variabel itu disebut sebagai penyelesaian atau akar-akar dari persamaan kuadrat. Sebagai contoh -3 adalah salah satu akar dari persamaan kuadrat x² + 2x - 3 = 0, karena x = -3 memenuhi persamaan kuadrat tersebut, yaitu jika x = -3 kita substitusikan ke persamaan tersebut, maka diperoleh 9 - 6 - 3 = 0 atau 0 = 0 suatu persamaan yang benar.
      Adapun cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat
      a.  Memfaktorkan

Dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan kita gunakan sifat faktor nol, yaitu :

Untuk p dan q bilangan rill dan berlaku p x q = 0, maka p = 0 atau q = 0

Contoh : Jika (x - 3)(2 + 3x) = 0, maka x - 3 = 0 atau 2 + 3x = 0
                                                                   x = 3 atau       3x = -2
                                                                                           
Jadi Penyelesaian (x - 3)(2 + 3x) = 0 adalah 

x = 3 

atau 

 

1) Memfaktorkan persamaan kuadrat, untuk a = 1

    Berarti bentuk persamaan kuadrat menjadi x² + bx + c = 0 
Misal p, q bilangan bulat dan bentuk x² + bx + c = 0 dapat difaktorkan menjadi (x + p)(x + q)
 
                         
                       
 dari identitas terakhir dapat disimpulkan p + q = b dan pq = c

Sehingga bentuk x² + bx = c = (x +p)(x + q) dengan p + q = b dan pq = c

Contoh : Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat dari x² + 3x - 4 = 0
Jawab :  x² + 3x - 4 = 0
              x² + (4 - 1)x + (4 . -1) = 0 
              x² + 4x - x + (4 . -1) = 0
              (x + 4)(x - 1) = 0
              x + 4 = 0 atau x - 1 = 0
              x = -4 atau x = 1
Jadi penyelesaiannya adalah x = -4 atau x = 1 

2)  Memfaktorkan persamaan kuadrat, untuk  

     Misal p, q bilangan bulatdan bentuk ax² + bx + c dapat difaktorkan menjadi

 

                        
                        
                        
dari identitas terakhir dapat disimpulkan p + q = b dan  atau pq = ac

Sehingga bentuk   

dengan p + q = b dan pq = ac

      b.  Melengkapkan kuadrat sempurna

Dalam melengkapkan kuadrat sempurna kita gunakan bentuk kuadrat sempurna (x + p)² = x² + 2px + p² atau (x – p)² = x² – 2px + p². Dari kedua bentuk tersebut tampak bahwa suku terakhir ruas kanan, yaitu p² adalah setengah dari koefisien x dikuadratkan. Sehingga untuk mengubah bentuk x² agar menjadi bentuk kuadrat sempurna, maka kita perlu menambahkan setengah dari koefisien x dikuadratkan atau maka:

Contoh :
Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna x² + 4x = 1 
Jawab :
x² + 4x = 1 
x² + 4x - 1 = 0
x² + 4x + 4 - 5 = 0
(x + 2)² = 5
x + 2 =  
x = - 2 atau - - 2
Jadi penyelesaiannya adalah x₁ = - 2 atau x₂ = - - 2

      c.  Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)

                                         
                                         
                                         
                                         
                                         

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan riil dan , maka akar-akar persamaan tersebut adalah

 

3. Jenis Akar Persamaan Kuadrat
      Perhatikan rumus mencari akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah

 

Bentuk b² – 4ac disebut diskriminan yang dinotasikan dengan D dan mempunyai arti untuk membedakan banyaknya dan jenis akar-akar persamaan kuadrat.
a.  Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang berbeda, yaitu

  dan

      · Jika D merupakan kudrat sempurna maka kedua akarnya rasional (terukur)

      · Jika D bukan kuadrat sempurna maka kedua akarnya irrasional ( tidak terukur)


b.  Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama (kembar), yaitu

c.  Jika D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil, karena tidak terdefinisi pada bilangan riil negatif. Selanjutnya agar akar kuadrat bilangan negatif mempunyai arti, maka didefinisikan bilangan imaginer, yaitu i =
Dengan menggunakan i kita dapat menentukan nilai

3. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
     Misalnya x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka berdasarkan rumus abc kita dapatkan :

dan  

a.
                 
               

Jadi      

b. 
              
              

Jadi