FUNGSI KUADRAT

KOMPETENSI DASAR

3.11 Menganalisis fungsi dan persamaan kuadrat dalam berbagai bentuk penyajian masalah kontekstual
3.12 Menganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika berupa fungsi kuadrat
4.10 Menyusun model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat dan menyelesaikan serta memeriksa kebenaran jawaban

TUJUAN PEMBELAJARAN

Diharapkan siswa terlibat aktif dalam kegiatan pembelajaran dan bertanggungjawab dalam menyampaikan pendapat, menjawab pertanyaan, memberi saran dan kritik, serta dapat:
1. Menuliskankan konsep fungsi kuadrat berdasarkan ciri-ciri yang ditemukan dengan bahasanya sendiri
2. Menentukan unsur-unsur yang terdapat pada grafik fungsi kuadrat
3. Menganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika berupa fungsi kuadrat

Definisi Fungsi Kuadrat 

Fungsi kuadrat dalam x adalah suatu fungsi yang berbentuk
f(x)=ax² + bx + c. dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 
yang dapat diilustrasikan sebagai bentuk lintasan lengkung atau parabola.

Pernahkah kalian bermain Angry Bird ? Permainan yang mengajak pemain untuk berfikir bagaimana melempar si Angry Bird agar tepat mengenai si babi hijau. berikut ini adalah video permainan Angry Bird

Perhatikan lintasan saat Angry Bird di lempar, berbentuk apakah lintasan tersebut? 

Ya, lintasan tersebut berbentuk lengkung atau parabola, sehingga dapat diterapkan dalam materi Fungsi Kuadrat. 

Contoh lain penerapan fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari, silahkan klik disini. 

Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat
Di bawah ini merupakan grafik fungsi kuadrat dengan y=f(x)=ax² + bx + c dengan posisi awal a = 1, b = 0 dan c = 0. 
- D merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat dengan rumus D = b² - 4ac 
- Titik P merupakan titik puncak atau koordinat titik balik. 

- Garis merah putus-putus merupakan sumbu simetri dari suatu fungsi kuadrat.

 

- Garis kuning putus-putus merupakan sumbu nilai ekstrim grafik 

- P (x,y )merupakan titik ekstrim atau titik puncak 

Cobalah untuk menggeserkan bulatan pada a , b , dan c . Perhatikanlah grafik fungsi kuadrat tersebut. 
Bagaimana bentuk grafik pada saat a bernilai positif dan a bernilai negatif ?
Bagaimana posisi grafik fungsi kuadrat pada saat D < 0 , D = 0 , dan D > 0 ?

Sehingga dapat disimpulkan bahwa :

a > 0, maka parabola terbuka ke atas dan memiliki titik puncak minimum
a < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan memiliki titik puncak maksimum


 
D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu X
D = 0, maka parabola menyinggung sumbu X
D > 0, maka parabola memotong sumbu X di dua titik

Untuk mempelajari model fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari, silahkan klik 

Model Fungsi Kuadrat

Di bawah ini cara menggambar grafik fungsi kuadrat

Setelah mempelajari dan mengerti cara menggambar grafik fungsi kuadrat, kita dapat menggunakan karakteristik fungsi kuadrat untuk bermain Angry Bird. Link berikut ini merupakan game Angry Bird yang membutuhkan perhitungan fungsi kuadrat. Silahkan klik di bawah ini.

Level 1

Level 2 

Kerjakan bersama kelompokmu dan kerjakan di LKS yang telah di sediakan. 

Silahkan kerjakan secara mandiri LATIHAN MANDIRI berikut ini.

Tugas untuk di rumah, silahkan download Disini

Untuk menggambar fungsi kuadrat menggunakan Geogebra silahkan klik disini

PERSAMAAN KUADRAT

1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

      Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel (peubah) x dengan a,b,c bilangan rill dan adalah sebagai berikut :

ax² + bx + c = 0

        a disebut koefisien x²
        b koefisien x
        c disebut konstanta

Contoh :
Tentukanlah nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat dibawah ini: 
a.  x² + 2x - 3 = 0 ; mempunyai nilai a = 1, b = 2 dan c = -3
b.  2x² - x - 6 = 0 ; mempunyai nilai a = 2, b = -1 dan c = -6 
c.  3x² + 4 = 2x² - 2x + 7 ; diubah terlebih dahulu ke bentuk umum persamaan kuadrat 
     3x² + 4 = 2x² - 2x 
     3x² - 2x² + 2x + 4 - 7 = 0
     x² + 2x - 3 = 0
    Jadi  3x² + 4 = 2x² - 2x + 7 mempunyai nilai a = 1, b = 2 dan c = -3  

Catatan : Variabel pada persamaan kuadrat memiliki pangkat paling tinggi dua


2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
      Menyelesaikan persamaan kuadrat adalah menentukan nilai-nilai variabel yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Selanjutnya nilai-nilai variabel itu disebut sebagai penyelesaian atau akar-akar dari persamaan kuadrat. Sebagai contoh -3 adalah salah satu akar dari persamaan kuadrat x² + 2x - 3 = 0, karena x = -3 memenuhi persamaan kuadrat tersebut, yaitu jika x = -3 kita substitusikan ke persamaan tersebut, maka diperoleh 9 - 6 - 3 = 0 atau 0 = 0 suatu persamaan yang benar.
      Adapun cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat
      a.  Memfaktorkan

Dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan kita gunakan sifat faktor nol, yaitu :

Untuk p dan q bilangan rill dan berlaku p x q = 0, maka p = 0 atau q = 0

Contoh : Jika (x - 3)(2 + 3x) = 0, maka x - 3 = 0 atau 2 + 3x = 0
                                                                   x = 3 atau       3x = -2
                                                                                           
Jadi Penyelesaian (x - 3)(2 + 3x) = 0 adalah 

x = 3 

atau 

 

1) Memfaktorkan persamaan kuadrat, untuk a = 1

    Berarti bentuk persamaan kuadrat menjadi x² + bx + c = 0 
Misal p, q bilangan bulat dan bentuk x² + bx + c = 0 dapat difaktorkan menjadi (x + p)(x + q)
 
                         
                       
 dari identitas terakhir dapat disimpulkan p + q = b dan pq = c

Sehingga bentuk x² + bx = c = (x +p)(x + q) dengan p + q = b dan pq = c

Contoh : Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat dari x² + 3x - 4 = 0
Jawab :  x² + 3x - 4 = 0
              x² + (4 - 1)x + (4 . -1) = 0 
              x² + 4x - x + (4 . -1) = 0
              (x + 4)(x - 1) = 0
              x + 4 = 0 atau x - 1 = 0
              x = -4 atau x = 1
Jadi penyelesaiannya adalah x = -4 atau x = 1 

2)  Memfaktorkan persamaan kuadrat, untuk  

     Misal p, q bilangan bulatdan bentuk ax² + bx + c dapat difaktorkan menjadi

 

                        
                        
                        
dari identitas terakhir dapat disimpulkan p + q = b dan  atau pq = ac

Sehingga bentuk   

dengan p + q = b dan pq = ac

      b.  Melengkapkan kuadrat sempurna

Dalam melengkapkan kuadrat sempurna kita gunakan bentuk kuadrat sempurna (x + p)² = x² + 2px + p² atau (x – p)² = x² – 2px + p². Dari kedua bentuk tersebut tampak bahwa suku terakhir ruas kanan, yaitu p² adalah setengah dari koefisien x dikuadratkan. Sehingga untuk mengubah bentuk x² agar menjadi bentuk kuadrat sempurna, maka kita perlu menambahkan setengah dari koefisien x dikuadratkan atau maka:

Contoh :
Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna x² + 4x = 1 
Jawab :
x² + 4x = 1 
x² + 4x - 1 = 0
x² + 4x + 4 - 5 = 0
(x + 2)² = 5
x + 2 =  
x = - 2 atau - - 2
Jadi penyelesaiannya adalah x₁ = - 2 atau x₂ = - - 2

      c.  Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)

                                         
                                         
                                         
                                         
                                         

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan riil dan , maka akar-akar persamaan tersebut adalah

 

3. Jenis Akar Persamaan Kuadrat
      Perhatikan rumus mencari akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah

 

Bentuk b² – 4ac disebut diskriminan yang dinotasikan dengan D dan mempunyai arti untuk membedakan banyaknya dan jenis akar-akar persamaan kuadrat.
a.  Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang berbeda, yaitu

  dan

      · Jika D merupakan kudrat sempurna maka kedua akarnya rasional (terukur)

      · Jika D bukan kuadrat sempurna maka kedua akarnya irrasional ( tidak terukur)


b.  Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama (kembar), yaitu

c.  Jika D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil, karena tidak terdefinisi pada bilangan riil negatif. Selanjutnya agar akar kuadrat bilangan negatif mempunyai arti, maka didefinisikan bilangan imaginer, yaitu i =
Dengan menggunakan i kita dapat menentukan nilai

3. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
     Misalnya x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka berdasarkan rumus abc kita dapatkan :

dan  

a.
                 
               

Jadi      

b. 
              
              

Jadi